拉压杆件 - Xiao Space

封面图——张拉结构

二力杆——拉伸或压缩

弯矩线性分布——进行等强度设计时使用杆件比较好

承受轴向载荷的拉压杆在工程中的应用非常广泛。

一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓，在紧固时，要对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。

由汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，不仅连接汽缸缸体和汽缸盖的螺栓承受轴向拉力，带动活塞运动的连杆由于两端都是饺链约束，因而也是承受轴向载荷的杆件。

悬索桥——拉伸与压缩

拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最简单的一种，所涉及的一些基本原理与方法比较简单，但在材料力学中却有一定的普遍意义。
本章主要介绍杆件承受拉伸和压缩的基本问题，包括: 内力、应力、变形、强度设计，材料在拉伸和压缩时的力学性能等，目的是使读者对弹性静力学有一个初步的、比较全面了解。

此后扭转、弯曲等都要使用这个

轴力与轴力图

沿着杆件轴线方向作用的载荷，通常称为轴向载荷(Normal Load)。杆件承受轴向载荷作用时，横截面上只有轴力$F_N$一种内力分量。

杆件只在两个端截面处承受轴向载荷时，则杆件的所有横截面上的轴力都是相同的。如果杆件上作用有两个以上的轴向载荷，就只有两个轴向载荷作用点之间的横截面上的轴力是相同的。
表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称为轴力图(Diagram of Normal Force)。

基本概念

整体平衡与局部平衡
内力与外力的相依关系
控制面的选取（集中载荷，突变处设置控制面，如果变化趋势变化，也要设置控制面）
杆件内力分量的正负号规则（拉伸为正、压缩为负）
指定截面上内力分量的确定

例题 1

:star: 轴力图的绘制

确定约束力
建立四个控制面，也就是轴力图的分段点
然后使用截面法求解控制面上的轴力（画出未知轴力、假设方向，列平衡方程，确定轴力）
建立坐标系，画轴力图

拉压杆件中的应力与强度设计

这是一个超静定问题
当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量。与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力σ。
如何知道应力的分布情况？
猜——假设是均匀的——平均正应力假设（平均正应变假定）
$\displaystyle \sigma=\frac{F_{Nx}}{A}$

考虑不同材质做成的杆件——均匀性不能保证——横截面平行——所以是均匀正应变假定

例题 2

强度设计

所谓**强度设计(Strength Design)**是指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足:

$$
\sigma_{max}\leq[\sigma]
$$

这一表达式称为拉伸与压缩杆件的强度设计准则(Criterion for Strength Design)，又称为强度条件。其中称为**许用应力(Allowable Stress)**，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由下式确定

$$
[\sigma]=\frac{\sigma^0}{n}
$$

式中σ^0^为材料的极限应力或危险应力(Critical Stress)，由材料的拉伸实验确定；n 为安全因数(n>1)，对于不同的机器或结构，在相应的设计规范中都有不同的规定。
强度计算的依据是强度设计准则或强度条件。据此，可以解决三类强度问题
- 强度校核
  - 已知杆件的几何尺寸、受力大小以及许用应力，校核杆件或结构的强度是否安全，也就是验证设计准则是否满足。如果满足，则杆件或结构的强度是安全的；否则，是不安全的。
- 尺寸设计
  - 已知杆件的受力大小及许用应力，根据设计准则，计算所需要的杆件横截面面积，进而设计处出合理的横截面尺寸。
- 确定许可载荷
  - 根据设计准则，确定杆件或结构所能承受的最大轴力，进而求得所能承受的外加载荷。

例题 3

螺栓强度校核问题；

吊车许可载荷问题；

使用等强度设计使构件、结构更加安全、经济

拉压杆件的变形

两部分变形——沿轴向的变形、横截面面内的变形

杆件内部承受拉伸、压缩内力时，将产生变形，即伸长、缩短。局部的变形用拉伸、压缩应变描述，而材料的性质反应在内力和变形，或应力与应变之间的关系上，即Hooke 定律。从而我们便建立了从载荷经历内力、应力分析，到应变和变形的联系。

分为微段，应力、应变都是场变量——应力分量
注意其中使用了每一段的变形均相同的假定
杨氏模量乘以横截面积——这个值称为拉伸刚度 EA，这与弹簧 k 不同，单位也不同
剪切模量乘以面积也可以类似定义
模量只与材料有关——而刚度则是材料性质和横截面积
当拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量)：

杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。
轴向应变与横向应变存在关系

$$
\epsilon_y = - \nu\epsilon_x
$$

在一个方向上有载荷——在其他方向也会有反应
在弹性力学中会有一个证明$-1\leq \nu \leq 0.5$
大部分材料的ν为正值。杆件单轴拉伸允许横向变形时应力应变之比为 Young’s 模量。

拉胀材料——负泊松比现象

使用一张揉皱的纸也可以制造出负泊松比材料

泊松比为什么范围是-1~0.5?

体积模量 B 与剪切模量 G，利用这些来进行求解

例题 4

见讲义

拉压时材料的力学性能

其中σ0 为材料的极限应力或危险应力。所谓危险应力是材料发生强度失效时的应力。这种应力不是通过计算，而是通过材料的拉伸实验得到的。通过拉伸实验一方面可以观察到材料发生强度失效的现象，另一方面可以得到材料失效时的应力值。

材料拉伸时的应力应变曲线

电子万能试验机
进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成标准试样(Standard Specimen)，然后将试样安装在试验机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称为应力-应变曲线(Stress-Strain Curve)。
试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。

脆性材料拉伸时的力学性能

开始时软化，此后就直接断裂——变软了
例如铸铁
对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断，试样的变形都很小。而且，大多数脆性材料拉伸的应力-应变曲线上，都没有明显的直线段，几乎没有塑性变形，也不会出现屈服和颈缩现象，因而只有断裂时的应力值，即强度极限。

关心两个数——杨氏模量和强度极限 b——brick

韧性材料拉伸时的力学性能

应力应变曲线中的直线段称为线弹性阶段。弹性阶段中的应力与应变成正比，比例常数即为材料的弹性模量 E。对于大多数韧性材料，其应力-应变曲线上没有明显的直线段，铸铁的应力-应变曲线即属此例。因为没有明显的直线部分，常用割线的斜率作为这类材料的弹性模量，称为割线模量。

应变较大——韧性
变形过程中能够吸收很多能量——线性
比例极限——拟合出来——杨氏模量
弹性极限——还是弹性变形
- 比例极限与弹性极限
- 应力应变曲线上线弹性阶段的应力最高限称为比例极限(Proportional Limit)，用σP 表示。线弹性阶段之后，应力－应变曲线上有一小段微弯的曲线，这表示应力超过比例极限以后，应力与应变不再成正比关系，但是，如果在这一阶段，卸去试样上的载荷，试样的变形将随之消失。这表明这一阶段内的变形都是弹性变形，因而包括线弹性阶段在内，统称为弹性阶段。弹性阶段的应力最高限称为弹性极限(Elastic Limit)，用表示。大部分韧性材料比例极限与弹性极限极为接近，只有通过精密测量才能加以区分。
屈服应力
- 许多韧性材料的应力-应变曲线中，在弹性阶段之后，出现近似的水平段(dσ/dε = 0)，这一阶段中应力几乎不变，而变形急剧增加，这种现象称为屈服(Yield)。这一阶段曲线的最低气的应力值称为屈服应力或屈服强度(Yield Stress)，用$\sigma_s$表示。
- 对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上则规定产生 0.2％塑性应变时的应力值为其屈服应力，称为材料的条件屈服应力(Offset Yield Stress)，用$\sigma_{0.2}$表示。
强度极限
- 应力超过屈服应力或条件屈服应力后，要使试样继续变形，必须再继续增加载荷。这一阶段称为强化(Strengthening)阶段。这一阶段应力的最高限
  称为强度极限(Strength Limit)，用表示。
某些韧性材料(例如低碳钢和铜)，应力超过强度极限以后，试样开始发生局部变形，局部变形区域内横截面尺寸急剧缩小，这种现象称为颈缩(Necking)。出现颈缩之后，试样变形所需拉力相应减小，应力一应变曲线出现下降阶段，直至试样被拉断。

注意其中的 Q235

材料选择中的 Ashby 图

强度失效概念与失效应力

略

压缩时材料的力学性能

上图是韧性材料

而脆性材料如下图：

在弹性阶段，杨氏模量还是适用的

卸载的力学行为

有残存塑性变形

结论与讨论

应力和变形公式的应用条件

怎样从受力或内力判断杆件沿轴向方向均匀变形是均匀的呢？

2-2 截面必然有应变的改编
平面沿着平行方向移动——认为合理
具体问题具体分析——涨落可以认为不计（材料大小远大于涨落时）
对于变形公式
- 应用时有两点必须注意：
  1. 导出这一公式时应用了 Hooke 定律，因此只有杆件在弹性范围内
    加载时，才能应用上述公式计算杆件的变形；
  2. 公式中的 FNx 为一段杆件内的轴力，只有当杆件仅在两端受力时
    FNx 才等于外力 FP。
- 当杆件上有多个外力作用，则必须先计算各段轴力，再分段计算变形然后按代数值相加。