一道小题-#02 2020-07-25

一道比较有趣的三角问题

题目

在$\Delta ABC$中，$a,b,c$分别为内角$A,B,C$对应的边，且满足$\displaystyle\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，$\displaystyle cos(A-B)=\frac{2sinAsinB}{sinC}$，求$\Delta ABC$周长的最小值.

分析

本题有严重的拼合成绩，可看作是两道中档题组合而成

因此，本解析分为两大部分，第一部分为如何得到$\displaystyle C=\frac{\pi}{2}$，第二部分为求周长最小值.

Part 1

本部分有解法超纲，不需深究

由条件，有

$$
\begin{aligned}
\frac{2sinAsinB}{sinC} &= cos(A-B) \newline
2sinAsinB &= cos(A-B)sin(A+B) \newline
&= (cosAcosB + sinAsinB)(sinAcosB + cosAsinB) \newline
&= sinAcosAcos^2B + sinBcosBcos^2A +\newline
&\quad \ sinBcosBsin^2A +sinAcosAsin^2B \newline
&= sinAcosA + sinBcosB
\end{aligned}
$$

两边同除$sinAsinB$，有

$$
\begin{aligned}
2=\frac{cosA}{sinB}+\frac{cosB}{sinA}
\end{aligned}
$$

若$\displaystyle A+B>\frac{\pi}{2}$，则$sinA>cosB,\ sinB>cosA$，即$\displaystyle\frac{cosA}{sinB}+\frac{cosB}{sinA}<2$，显然不成立.

若$\displaystyle A+B<\frac{\pi}{2}$，则$sinA<cosB,\ sinB<cosA$，即$\displaystyle\frac{cosA}{sinB}+\frac{cosB}{sinA}>2$，显然不成立.

因此$\displaystyle A+B=\frac{\pi}{2}$，即$\displaystyle C=\frac{\pi}{2}$.

由条件，有

$$
\begin{aligned}
\frac{2sinAsinB}{sinC} &= cos(A-B) \newline
2sinAsinB &= cos(A-B)sin(A+B) \newline
&= \frac{1}{2}(sin2A+sin2B) \newline
&= sinAcosA + sinBcosB
\end{aligned}
$$

两边同除$sinAsinB$，有

$$
\begin{aligned}
2=\frac{cosA}{sinB}+\frac{cosB}{sinA}
\end{aligned}
$$

若$\displaystyle A+B>\frac{\pi}{2}$，则$sinA>cosB,\ sinB>cosA$，即$\displaystyle\frac{cosA}{sinB}+\frac{cosB}{sinA}<2$，显然不成立.

若$\displaystyle A+B<\frac{\pi}{2}$，则$sinA<cosB,\ sinB<cosA$，即$\displaystyle\frac{cosA}{sinB}+\frac{cosB}{sinA}>2$，显然不成立.

因此$\displaystyle A+B=\frac{\pi}{2}$，即$\displaystyle C=\frac{\pi}{2}$.

$$
\begin{aligned}
\frac{2sinAsinB}{sinC} &= cos(A-B) \newline
2sinAsinB &= cos(A-B)sin(A+B) \newline
cos(A-B) - cos(A+B) &= cos(A-B)sin(A+B) \newline
cos(A-B)(1-sin(A+B)) &=cos(A+B) \newline
cos(A-B)=\frac{cos(A+B)}{1-sin(A+B)}&\quad 或\quad A+B=\frac{\pi}{2}
\end{aligned}
$$

令$\displaystyle tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = t \in(0, +\infty)$，因此利用万能公式，原式可以变形为

$$
\begin{aligned}
\frac{cos(A+B)}{1-sin(A+B)} &= \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{1-\frac{2t}{1+t^2}} \newline
&=\frac{1-t^2}{(t+1)^2} \newline
&=\frac{1-t}{1+t}\newline
&=\frac{2}{1+t} -1 \in(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)
\end{aligned}
$$

而$cos(A-B)\in(-1,1\ ]$，故该情况方程无解，即$\displaystyle A+B=\frac{\pi}{2}$，即$\displaystyle C=\frac{\pi}{2}$.